高数笔记

函数极限与连续

1. 判断函数在开/闭区间内是否有界

闭区间内：
1. 若函数在闭区间内连续，则一定有界
2. 若函数在闭区间内有不连续的点，则需要分段判断，若分成了开区间，则需要根据开区间是否有界来判断
开区间内：首先需要判断函数在开区间 $(a, b)$ 内连续，若连续且 $f(a+0)$ 和 $f(b-0)$ 存在，即两边极限存在，则函数有界拓展： $a,b$ 换成 $+\infty,-\infty$ 也成立 例题：武忠祥每日一题11/7

2. 极限需要分左右符号的情况

分段函数

e^{ a } = \begin{cases}0, & a\to -\infty \\ +\infty, & a\to +\infty\end{cases}

\arctan(a) = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & a\to +\infty \\ -\frac{\pi}{2}, & a\to-\infty \end{cases}

3. 极限等价加减原则

求 $\lim\limits_{ x \to a }\alpha-\beta$ 时，若想用 $\lim\limits_{ x \to a }\alpha+\beta=\lim\limits_{ x \to a }\alpha - \lim\limits_{ x \to a }\beta$ ，需要满足：

\frac{\lim\limits_{ x \to a }\alpha }{\lim\limits_{ x \to a }\beta }= A \neq 1

4. 等价无穷小复合函数形式

设 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$ ，且 $f(x) \neq 0$ （在 $a$ 的某去心邻域内），若 $u \to 0$ 时 $\varphi(u) \sim \psi(u)$ ，则 $x \to a$ 时 $\varphi(f(x)) \sim \psi(f(x))$ 。注意：要求 $f(x)$ 在去心邻域内不为0！原因：等价无穷小定义：

\lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1 \quad \Longrightarrow \quad \alpha(x) \sim \beta(x) \quad (x \to a)

若不满足，至少一个去心邻域内不为0，则分母会取到0，比式无意义.

例题：武忠祥每日一题 11/14

5. 可部分求极限的情况

对于 $\lim\limits_{ x \to a } f(x)\cdot g(x)$ 或 $\lim\limits_{x\to a }f(x)^{g(x)}$ ，若 $f(x)$ 或 $g(x)$ 可单独求极限，则只有 $\lim\limits_{ x \to a }f(x)=A$ 或 $\lim\limits_{ x \to a }g(x)=A$ （极限为常数）时才可单独求极限带入

6. $1^{\infty}$ 求极限

凑e： $\lim\limits_{ x \to 0 }(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$
凑 $\lim\limits_{ x \to 0 }(1+f(x))^{g(x)}=e^{A}$ ，其中 $\lim\limits_{ x \to 0 }f(x)\cdot g(x)=A$ ，要求 $f(x)\to {0}$

7. 常用极限公式

$\lim\limits_{ x \to 0 }(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x$ .

$\lim\limits_{ x \to +\infty } \frac{\ln x}{x^\alpha}=0,\alpha>0$ .

8. 单调有极限的保号性

若 $f(x)$ 单调递减且 $\lim\limits_{ x \to \infty }f(x)=0$ ，可推出 $f(x)>0$ ，可用反证法证明. 例题：武忠祥每日一题1/16

9. 跳跃间断点定义问题

跳跃间断点不要求函数在跳跃点处有定义！

\text{左右极限都存在} \begin{cases} \text{相等} \begin{cases} =f(a) \;\longrightarrow\; \text{连续} \\ \neq f(a) \;\longrightarrow\; \text{可去间断} \end{cases} \\ \text{不等} \;\longrightarrow\; \text{跳跃间断} \quad(\text{与 } f(a) \text{ 是否存在无关}) \end{cases}

10. 其他结论

若 $f(x_{0})\neq_{0}$ ，则 $|f(x_{0})|在x_{0}处可导\iff f(x_{0})在x_{0}处可导$

11. 洛必达法则

用于求 $\displaystyle\lim\frac{f(x)}{g(x)}$ ，不是恒等变形，须先验证条件。

适用类型（直接）

\frac{0}{0}\quad\text{或}\quad\frac{\infty}{\infty}

其他未定式先变形再用：

类型	常用变形
$0\cdot\infty$	化为 $\dfrac{0}{1/\infty}$ 或 $\dfrac{\infty}{1/0}$
$\infty-\infty$	通分、有理化、提公因子
$0^0,\ \infty^0,\ 1^\infty$	取对数化为 $0\cdot\infty$

使用条件（同时满足）

未定式：代入确认为 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ ；每用一次后若仍为此型可再用，否则停止。
可导：在极限点的某去心邻域内 $f,g$ 可导，且 $g'(x)\neq 0$ 。
导数比极限存在： $\displaystyle\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$ （ $L$ 为有限数或 $\pm\infty$ ），则

\lim\frac{f(x)}{g(x)}=L.

使用流程

代入 → 确认 0/0 或 ∞/∞ → 分子分母分别求导 → 再代入
→ 仍为未定式则重复；否则换泰勒/等价无穷小/拆项

常见误区

非未定式（如 $\dfrac{1}{0}$ 、 $\dfrac{0}{2}$ ）不能用。
$\displaystyle\lim\frac{f'}{g'}$ 不存在，只说明洛必达失效，原极限仍可能存在（如 $\dfrac{x+\sin x}{x}$ 应拆项）。
不要把 $\displaystyle\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ 当恒等式。

数列极限

1. 数列与函数单调性

$u_n$ 落在有界闭区间 $I$ 上， $f$ 在 $I$ 上严格单调，且 $\lim f(u_n)$ 存在 $\Rightarrow$ $\lim u_n$ 存在。

$\lim\limits_{ n \to \infty }f(a_{n})=A(f(a_{n}收敛))且f(x)单调(有反函数)\to a_{n}收敛$. 
逆否命题：
$a_{n}发散且f(x)单调(有反函数)\to f(a_{n})发散$

2. 单调有界与求单调

单调有界 $\Rightarrow$ 有极限。递推 $x_{n+1}=f(x_n)$ 时，先猜极限（解 $x=f(x)$ ），再证单调、有界。

判单调常用：

比较 $f(x_n)$ 与 $x_n$ （即 $x_{n+1}$ 与 $x_n$ ）
看 $x_{n+1}-x_n$ 的符号
$x_n>0$ 时看 $x_{n+1}/x_n$ 与 $1$

3. 压缩映射

要证 $\lim x_n=a$ ：若 $0<k<1$ 且 $|x_{n+1}-a|\le k|x_n-a|$ ，则

|x_{n+1}-a|\le k|x_n-a|\le\cdots\le k^n|x_1-a|\to 0

夹逼得 $x_n\to a$ 。

递推 $x_{n+1}=f(x_n)$ ， $f$ 可导， $x=a$ 为唯一解，且 $|f'(x)|\le k<1$ ，则 $|x_{n+1}-a|=|f(x_n)-f(a)|=|f'(\xi)||x_n-a|\le k|x_n-a|$ ，化为上款。

做题：先设极限求出 $a$ ，再验证压缩。

4. 等差、等比与两个极限

等差： $a_n=a_1+(n-1)d$ ， $S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$ 。

等比： $a_n=a_1 r^{n-1}$ ，

S_n=\begin{cases} n a_1, & r=1\\[4pt] a_1\dfrac{1-r^n}{1-r}, & r\neq 1\end{cases}

\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

$a_i\ge 0$ 时

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_m^n}=\max\{a_1,\ldots,a_m\}

数项级数

正项级数先比、再达朗贝尔 / 柯西、或积分判别；交错用莱布尼茨；任意项先看绝对收敛。

1. 比较判别（极限形式）

正项 $\sum u_n,\ \sum v_n$ ， $\lim\dfrac{u_n}{v_n}=A$ 。

$A=0$ ： $\sum v_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum u_n$ 收敛
$A=+\infty$ ： $\sum v_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\sum u_n$ 发散
$0<A<+\infty$ ：二者同敛散

2. 达朗贝尔

正项， $\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$ ： $\rho<1$ 收敛； $\rho>1$ （含 $+\infty$ ）发散； $\rho=1$ 失效。

从某项起 $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1$ $\Rightarrow$ $u_n\not\to 0$ $\Rightarrow$ 发散。

3. 柯西根值

正项， $\lim\sqrt[n]{u_n}=\rho$ ： $\rho<1$ 收敛； $\rho>1$ 发散； $\rho=1$ 失效。

从某项起 $\sqrt[n]{u_n}\ge 1$ $\Rightarrow$ 发散。

4. 积分判别

$u_n=f(n)$ ， $f$ 在 $[1,+\infty)$ 上正、连续、单调减，则 $\sum u_n$ 与 $\displaystyle\int_1^{+\infty}f(x)\,dx$ 同敛散。

5. 莱布尼茨（交错）

$\sum (-1)^{n-1}u_n$ （ $u_n>0$ ）： $\{u_n\}$ 单调不增且 $u_n\to 0$ $\Rightarrow$ 收敛（充分）。

6. 绝对收敛 / 条件收敛

$\sum|u_n|$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum u_n$ 绝对收敛（原级数也收敛）
$\sum u_n$ 收敛但 $\sum|u_n|$ 发散 $\Rightarrow$ 条件收敛

$\sum u_n,\sum v_n$ 都绝对收敛 $\Rightarrow$ $\sum(u_n\pm v_n)$ 绝对收敛（ $|u\pm v|\le|u|+|v|$ ）。

一个绝对、一个条件 $\Rightarrow$ 和 / 差条件收敛。

把正项抽成 $\sum v_n$ 、负项绝对值抽成 $\sum w_n$ ：

\sum u_n=\sum v_n-\sum w_n,\qquad \sum|u_n|=\sum v_n+\sum w_n

绝对收敛 $\Rightarrow$ 正、负两部分都收敛；条件收敛 $\Rightarrow$ 两部分都发散。

7. 经典级数

调和平均： $\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$ 。

调和级数 $\sum\dfrac{1}{n}$ 发散。部分和 $H_n=1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}$ ，积分夹逼 $\ln(n+1)\le H_n\le 1+\ln n$ ，故 $H_n\sim\ln n$ （更细： $H_n=\ln n+\gamma+o(1)$ ）
$p$ 级数 $\sum\dfrac{1}{n^p}$ ： $p\le 1$ 发散， $p>1$ 收敛
交错调和 $\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2$ （条件收敛）
$\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^p}$ ： $p>1$ 绝对收敛； $0<p\le 1$ 条件收敛

8. 幂级数

泰勒展开做法见「一元函数微分学」。这里记收敛半径、运算和多出来的展开。

收敛区间只写开区间 $(-R,R)$ ，不管端点；收敛域要把端点单独判进去。

1. 阿贝尔定理

$\sum a_n x^n$ 在 $x_1$ 收敛 $\Rightarrow$ $|x|<|x_1|$ 处绝对收敛；在 $x_2$ 发散 $\Rightarrow$ $|x|>|x_2|$ 处发散。

对 $\sum a_n(x-x_0)^n$ ：在 $x_1$ 收敛 $\Rightarrow$ $R\ge|x_1-x_0|$ ；发散 $\Rightarrow$ $R\le|x_1-x_0|$ ；端点条件收敛 $\Rightarrow$ $R=|x_1-x_0|$ 。

2. 求收敛半径

$\lim\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$ 或 $\lim\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$ ：

R=\begin{cases} 1/\rho, & 0<\rho<+\infty\\ +\infty, & \rho=0\\ 0, & \rho=+\infty \end{cases}

收敛区间 $(-R,R)$ ；收敛域是在此基础上加或不加 $\pm R$ 。

3. 运算（ $R$ 怎么变）

乘 $(x-x_0)^k$ ： $R$ 不变。逐项求导 / 积分： $R$ 不变，端点可能变。

$\sum a_n x^n$ 半径 $R_a$ ， $\sum b_n x^n$ 半径 $R_b$ ：

加减：若 $R_a\neq R_b$ ，则 $R=\min\{R_a,R_b\}$ ；若相等，则 $R\ge\min$
乘积 $\sum\bigl(\sum_{i=0}^{n}a_i b_{n-i}\bigr)x^n$ ： $R\ge\min\{R_a,R_b\}$

逐项积分（ $R$ 相同，收敛域可能变大）：

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}=\int_0^{x}\sum_{n=0}^{\infty}a_n t^{n}\,\mathrm{d}t=\int_0^{x}S(t)\,\mathrm{d}t

逐项求导（ $R$ 相同，收敛域可能变小）：

S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n a_n x^{n-1}

4. 补一些展开（ $|x|<1$ 除非另写）

\begin{aligned} \sqrt{1\pm x}&=1\pm\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+\cdots\\ \frac{1}{\sqrt{1\pm x}}&=1\mp\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^{2}+\cdots\\ \frac{1}{(1-x)^{2}}&=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n}\\ \frac{1}{(1+x)^{2}}&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n}\\ \sinh x&=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \cosh x&=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ \tan x&=x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\cdots,\quad |x|<\frac{\pi}{2}\\ \arcsin x&=x+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{3}{40}x^{5}+\cdots,\quad |x|<1\\ \arctan x&=x-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|\le 1 \end{aligned}

9. 傅里叶级数

$f$ 周期 $2l$ ，在 $[-l,l]$ 可积：

f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)

a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x,\qquad b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x

（ $a_0$ 也套 $n=0$ 的公式，故常数项是 $a_0/2=\dfrac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f$ ；周期 $T$ 时常数项也可写成 $\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}f$ 。）

狄利克雷：在 $[-l,l]$ 上连续或只有有限个第一类间断，且只有有限个极值，则傅里叶级数在 $(-l,l)$ 处处收敛，和函数

S(x)=\begin{cases} f(x), & x\text{ 连续}\\[4pt] \dfrac{f(x-0)+f(x+0)}{2}, & x\text{ 间断}\\[4pt] \dfrac{f(-l+0)+f(l-0)}{2}, & x=\pm l \end{cases}

一元函数微分学

1. 复合函数求原函数

方法：对于 $f'(x)$ ，凑 $\frac{f'(x)}{f(x)}$ ，可写成 $\ln(f(x))$ 的导数；对常数或多项式，可写成高阶形式的导数，最后把整体写成某个函数的导数的形式. 例题：武忠祥每日一题1/21

2. 泰勒公式

\begin{aligned} \sin x&=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+o(x^7)\\ \cos x&=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+o(x^6)\\ \tan x&=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+o(x^5) \end{aligned}

记忆： $\sin x$ 求导得到 $\cos x$ 。

\begin{aligned} \arcsin x&=x+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+o(x^5)\\ \arctan x&=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+o(x^5) \end{aligned}

记忆： $\arcsin x$ 与 $\sin x$ 差后项符号， $\arctan x$ 与 $\tan x$ 差后项符号。

\begin{aligned} \ln(1+x)&=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+o(x^4)\\ e^x&=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4)\\ (1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2),\quad x\to 0\\ (1+x)^\alpha&=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n,\quad |x|<1\\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}x^n,\quad |x|<1\\ \frac{1}{1+x}&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n,\quad |x|<1 \end{aligned}

$o(x^n)$ 是 $x\to 0$ 的局部展开，一般不单独写收敛区间。写成无穷级数 $\sum$ 时才有收敛域。

\begin{aligned} e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},\quad x\in(-\infty,+\infty)\\ \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in(-\infty,+\infty)\\ \cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in(-\infty,+\infty)\\ \ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n},\quad -1<x\le 1\\ \arctan x&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|\le 1\\ \arcsin x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}x^{2n+1},\quad |x|\le 1 \end{aligned}

$\tan x$ 通项用伯努利数，考研记前几项即可，收敛域 $\lvert x\rvert<\pi/2$ 。

其中 $\displaystyle\binom{\alpha}{n}=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$ ， $\binom{\alpha}{0}=1$ 。 $(1+x)^\alpha$ 端点 $x=\pm 1$ 是否收敛取决于 $\alpha$ ，多数题只写 $|x|<1$ 。

函数	通项要点	收敛范围
$e^x$	$x^n/n!$	$(-\infty,+\infty)$
$\sin x$	$(-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!$	$(-\infty,+\infty)$
$\cos x$	$(-1)^n x^{2n}/(2n)!$	$(-\infty,+\infty)$
$1/(1-x)$	$x^n$	$\\|x\\|<1$
$1/(1+x)$	$(-1)^n x^n$	$\\|x\\|<1$
$\ln(1+x)$	$(-1)^{n-1}x^n/n$	$-1<x\le 1$
$(1+x)^\alpha$	$\binom{\alpha}{n}x^n$	$\\|x\\|<1$
$\arctan x$	$(-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)$	$\\|x\\|\le 1$
$\arcsin x$	见上式	$\\|x\\|\le 1$
$\tan x$	前几项即可	$\\|x\\|<\pi/2$

考研里幂级数 / 泰勒展开的实用规则

1. 优先“标准展开式 + 变形”，少硬求 $f^{(n)}(0)$ 必记：

\frac{1}{1-x},\quad \ln(1+x),\quad e^x,\quad \sin x,\quad \cos x,\quad (1+x)^\alpha

2. 有理函数：部分分式 → 凑 $\dfrac{1}{1-u}$ 或 $\dfrac{1}{(1-u)^k}$ （可对几何级数求导）
3. 对数 / 根式：因式分解或配方 → 凑 $\ln(1+u)$ 、 $(1+u)^\alpha$
4. 复合：设 $u=g(x)$ ， $g(0)=0$ ，再代入已知级数
5. 运算：加减、乘、除（长除）、逐项求导/积分，把复杂函数拆成已知级数
6. 必须写收敛区间（公共部分；端点另判）
7. 若只要前几项（到 $x^n$ 或 $o(x^n)$ ）：可直接求导算系数，或已知级数截断——这才是“直接泰勒”的合适场景
口诀：先化成“见过的级数”，再展开；通项里不能再留未定值的 $x$ 。

3. 极值点和拐点的形式

极值点指 $x$ 轴上的点，可以是 $x=1$ . 拐点是曲线上的点，形式为 $(1,-1)$

一元函数积分学

1. P积分

对于积分

\int_{a}^{+\infty}\left( \frac{1}{x^p} \right)dx, a>0

有：

\begin{cases} p\leq 1, 发散\\ p >1, 收敛 \end{cases}

对于积分限为无限的反常积分，可用与P积分比较大小来求是否收敛 例题：武忠祥每日一题2/15

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}$ 必须两端各自收敛（ $A,B$ 独立取极限），不能因为是奇函数就先把两端抵消。详见下面「积分奇偶性」。

2. sinx函数变换

\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx

3. 区间重现

\int_{a}^{b}f(x)\,dx,\quad t=a+b-x

原式 $=\displaystyle\int_{a}^{b}f(a+b-t)\,dt$ 。

4. 常用积分公式

$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$
$\int\frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+C$
$\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan|\frac{x}{a}|+C$

\int_{0}^{\pi/2}\sin^n x\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\cos^n x\,dx= \begin{cases} \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n\text{ 为偶数}\\[6pt] \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3}, & n\text{ 为奇数} \end{cases}

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\ln|x+\sqrt{1+x^2}|+C$
$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}\,dx$ 收敛， $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{|\sin x|}{x}\,dx$ 发散。
$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}\,dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ （高斯积分； $e^{-t^{2}}$ 为偶，故 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}\,dt=\sqrt{\pi}$ ）

5. 积分奇偶性

以下均设 $f$ 在关于原点对称的区间上连续。 $F'=f$ 为任一原函数。

$f$ 为奇 $\Rightarrow$ 每一个原函数都是偶函数。

F(-x)=F(x)

（对 $F(-x)$ 求导得 $f(x)$ ，故 $F(-x)=F(x)+C$ ；令 $x=0$ 得 $C=0$ 。）变上限积分下限任意都可以：

\int_{a}^{x}f(t)\,dt

为偶函数（ $a$ 任意）。

$f$ 为偶 $\Rightarrow$ 原函数一般既非奇也非偶，且

F(-x)=-F(x)+2F(0)

故 $F$ 为奇 $\iff F(0)=0$ 。加减常数只改变 $F(0)$ ，因此有且仅有一个原函数是奇函数，就是过原点的那一个：

\int_{0}^{x}f(t)\,dt

为奇函数。下限不是 $0$ 时， $\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,dt\Big|_{x=0}=\int_{a}^{0}f\neq 0$ （一般），不是奇函数。任意原函数 $=$ 这个奇原函数 $+$ 常数。

**定积分（有限对称区间）**才可以直接用奇偶：

\int_{-a}^{a}f_{\text{奇}}=0,\qquad \int_{-a}^{a}f_{\text{偶}}=2\int_{0}^{a}f

无穷限不能先抵消。 定义是两端分开取极限，都存在才叫收敛：

\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx =\lim_{A\to+\infty}\int_{-A}^{0}f +\lim_{B\to+\infty}\int_{0}^{B}f

一边散，整体就散。把两边替换成相反数再写「 $I+(-I)=0$ 」是 $\infty-\infty$ ，不算数。须先确认 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f$ 与 $\displaystyle\int_{-\infty}^{0}f$ 都收敛，才能用奇偶下结论。

$e^{|x|}\sin 2x$ 为奇，但 $e^{|x|}$ 两边振幅都爆 → $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}$ 发散（不是 $0$ ）。
$e^{-|x|}\sin 2x$ 为奇且两边都收敛 → 积分才是 $0$ 。

对称地一起推出去 $\displaystyle\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^{R}$ （柯西主值）大纲不考；主值是 $0$ 也不能改判收敛。

6. 定积分几何公式

$\int_{0}^{a}\sqrt{ a^2-x^2 }dx=\int_{0}^{a}\sqrt{ 2ax-x^2 }dx=\frac{\pi a^2}{4}$

7. 积分周期性

$f(x)$ 连续且周期为 $T$ ，则

\int_{0}^{x}f(t)\,dt\text{ 以 }T\text{ 为周期} \iff \int_{a}^{a+T}f(t)\,dt=0

8. 积分中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\exists \xi\in[a,b],s.t.$

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = f(\xi)(b-a)

推广形式：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续， $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积且不变号，则则 $\exists \xi\in[a,b],s.t.$

\int_{a}^{b} f(x)g(x)\,dx = f(\xi) \int_{a}^{b} g(x)\,dx

对比项	微分中值	积分中值
公式	$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$	$\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$
本质	存在切线平行于弦	存在矩形等于曲边梯形面积

9. 求积分公式的阶数

对于 $\int_{0}^{\phi(x)}f(t)dt$ ，若 $\phi(x)$ 阶数为 $n$ ， $f(x)$ 阶数为 $m$ ，则原积分阶数为 $n(m+1)$ 当原积分下限不为0时，可拆为两个积分下限为0的积分相减，分别求阶次，取较低者为原积分阶次。若两积分阶次相同，则此方法不适用

2.对积分求导，转为积分的导数（普通函数形式），求其阶数，积分阶数为导数阶数+1

10. 定积分几何应用

（1）参数方程曲线（第75题核心）

设 $\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\end{cases}$ ， $t\in[\alpha,\beta]$ ，且曲线光滑。

量	公式
面积	$A=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} y(t)\,x'(t)\,dt$ （注意积分方向；常用对称性）
弧长	$L=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt$
绕 $x$ 轴体积	$V=\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}[y(t)]^2\,\lvert x'(t)\rvert\,dt$
绕 $x$ 轴侧面积	$S=2\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\lvert y(t)\rvert\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt$

例题：《基础过关660》高数篇第75题（星形线）

\begin{cases}x=a\cos^3 t\\ y=a\sin^3 t\end{cases} \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{3}{8}\pi a^2,\quad L=6a,\quad V=\dfrac{32}{105}\pi a^3,\quad S=\dfrac{12}{5}\pi a^2

技巧：关于坐标轴对称时，先算第一象限再 $\times 4$ （面积/弧长）或按上下对称改写体积/侧面积；弧长元常可化简，本题 $\sqrt{x'^2+y'^2}=3a|\sin t\cos t|$ ；幂次积分用 Wallis 公式（见§4）。

（2）直角坐标 $y=f(x)$ （ $x\in[a,b]$ ）

量	公式
面积	$A=\displaystyle\int_a^b \lvert f(x)\rvert\,dx$ ；两曲线间 $A=\displaystyle\int_a^b \lvert f-g\rvert\,dx$
弧长	$L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$
绕 $x$ 轴体积	圆盘/垫圈： $V=\pi\displaystyle\int_a^b\big([R(x)]^2-[r(x)]^2\big)\,dx$
绕 $y$ 轴体积	壳层： $V=2\pi\displaystyle\int_a^b x\lvert f(x)\rvert\,dx$ （或改用 $x=x(y)$ 圆盘）
绕 $x$ 轴侧面积	$S=2\pi\displaystyle\int_a^b \lvert y\rvert\sqrt{1+(y')^2}\,dx$
绕 $y$ 轴侧面积	$S=2\pi\displaystyle\int_a^b \lvert x\rvert\sqrt{1+(y')^2}\,dx$

（3）极坐标 $r=r(\theta)$ （ $\theta\in[\alpha,\beta]$ ）

A=\frac12\int_{\alpha}^{\beta}[r(\theta)]^2\,d\theta,\qquad L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}\,d\theta

（4）选用提示

给参数方程 → 优先参数公式，不必先消参
绕直线旋转 → 可平移/换元，使该直线成为新坐标轴，再套标准公式
隐函数曲线 → 可由 $F(x,y)=0$ 求 $y'$ ，再代入弧长/侧面积（第75题评注）

11. 定积分物理应用

核心方法：微元法——先写物理量的微元 $\mathrm{d}(\,\cdot\,)$ ，再积分。

（1）变力做功

力 $F(x)$ 沿直线从 $a$ 到 $b$ ：

W=\int_a^b F(x)\,\mathrm{d}x

弹簧（胡克定律 $F=kx$ ）： $W=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} kx\,\mathrm{d}x$ 。

（2）抽水（抽液体）做功

水平薄层：深度/高度处体积微元 $\mathrm{d}V$ ，提升高度为 $h$ ，则

\mathrm{d}W=\rho g\cdot\mathrm{d}V\cdot h,\qquad W=\int\rho g\,h\,\mathrm{d}V

旋转体容器（绕 $y$ 轴，水面/缸口高度为 $H$ ）常用：

\mathrm{d}V=\pi[x(y)]^2\,\mathrm{d}y,\qquad \mathrm{d}W=\rho g\pi[x(y)]^2(H-y)\,\mathrm{d}y

（ $H-y$ 为该层水需提升的竖直距离；抽到缸口还是抽到地面，看题设改 $h$ 。）

例题：《基础过关660》第79题；《张宇1000题》基础篇第12章第4、5题

（3）静水压力

深度 $h$ 处面积微元 $\mathrm{d}A$ 一侧所受压力：

\mathrm{d}P=\rho g h\,\mathrm{d}A,\qquad P=\int\rho g h\,\mathrm{d}A

竖直平板：取水平条带，宽 $l(h)$ 、厚 $\mathrm{d}h$ ，则 $\mathrm{d}A=l(h)\,\mathrm{d}h$ 。

例题：《张宇1000题》基础篇第12章第2、7题；《基础过关660》选择题闸门压力题

（4）引力（万有引力）

两质点： $F=G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ （方向沿连线）。连续体对质点：先写微元，再按分量积分（对称分量常抵消）。

细杆/线密度 $\rho$ ，质点质量 $m$ ：

\mathrm{d}F=G\frac{m\cdot\rho\,\mathrm{d}s}{r^2},\quad \text{再乘 }\cos\theta\text{ 得所需分量后积分}

无穷长直导线（线密度 $\lambda$ ，质点距线为 $a$ ）对单位质点的引力大小：

F=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{k\lambda a}{(a^2+x^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}x=\frac{2k\lambda}{a}

（660 中 $k$ 即引力常量， $\lambda=1$ 时 $F=\dfrac{2k}{a}$ 。）

摆脱地球引力做功（质点质量 $m$ ，地球质量 $M$ 、半径 $R$ ）：

W=\int_R^{+\infty}G\frac{Mm}{x^2}\,\mathrm{d}x=G\frac{Mm}{R}

例题：《基础过关660》第80题；《张宇1000题》基础篇第12章第1、3、6题

（5）质量 / 质心 / 转动惯量

定积分阶段见微元思想即可；完整公式（线/面/体）见下文「多元函数积分学 · 第一型曲线积分」后的转动惯量专条。

曲线线密度速记： $I_x=\int_L y^{2}\rho\,\mathrm{d}s,\ I_y=\int_L x^{2}\rho\,\mathrm{d}s$ 。

（6）选用提示

先建坐标系，明确“提到哪里 / 深度从哪算 / 引力要哪一分量”
抽水、压力：积分变量常取竖直方向；引力：优先利用对称性消掉平行分量
变上限（水面上涨）求压力变化率 → 对参数求导（牛顿–莱布尼茨）

微分方程

1. 线性方程的说法

$n$ 阶线性微分方程：

a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)

$a_i(x)$ 全是常数 $\Rightarrow$ 常系数
$f(x)=0$ $\Rightarrow$ 齐次（否则非齐次）

2. 一阶：能分离的先分离

① 可分离变量 $y'=f(x)g(y)$ ：

\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx

② 换元后分离 $\dfrac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$ ，令 $u=ax+by+c$ ：

\frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}=a+bf(u)

再分离 $u,x$ 。

③ 齐次型 $\dfrac{dy}{dx}=\varphi\!\left(\dfrac{y}{x}\right)$ ，令 $u=\dfrac{y}{x}$ （即 $y=ux$ ）：

x\frac{du}{dx}+u=\varphi(u)

3. 一阶线性与伯努利

一阶线性 $y'+P(x)y=Q(x)$ ：

y=e^{-\int P(x)\,dx}\left[\int e^{\int P(x)\,dx}Q(x)\,dx+C\right]

定积分写法（ $x_0$ 可任取）：

y=e^{-\int_{x_0}^{x}P(t)\,dt}\left[\int_{x_0}^{x}e^{\int_{x_0}^{t}P(\tau)\,d\tau}Q(t)\,dt+C\right]

伯努利 $\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}$ （ $n\neq 0,1$ ）：两边乘 $y^{-n}$ ，令 $z=y^{1-n}$ ，则

\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}

化成一阶线性：

\frac{1}{1-n}z'+P(x)z=Q(x)

4. 二阶常系数齐次

y''+py'+qy=0

有两个线性无关解 $y_1,y_2$ 时，通解 $y=C_1 y_1+C_2 y_2$ 。

特征方程 $r^{2}+pr+q=0$ ：

判别式	根	通解
$p^{2}-4q>0$	两实根 $r_1,r_2$	$C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}$
$p^{2}-4q=0$	重根 $r$	$(C_1+C_2 x)e^{rx}$
$p^{2}-4q<0$	$\alpha\pm\beta i$	$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

5. $n\ge 2$ 阶常系数齐次

先解特征方程得根 $r$ ，每类根往通解里贡献一项：

单实根 $r$ ：含 $C e^{rx}$
$k$ 重实根 $r$ ： $(C_1+C_2 x+\cdots+C_k x^{k-1})e^{rx}$
单复根 $\alpha\pm\beta i$ ： $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
二重复根 $\alpha\pm\beta i$ ： $e^{\alpha x}\bigl[(C_1+C_3 x)\cos\beta x+(C_2+C_4 x)\sin\beta x\bigr]$

（ $k$ 重复根把多项式升到 $x^{k-1}$ 。）

6. 二阶常系数非齐次

y''+py'+qy=f(x)

解的结构：齐次通解 $+$ 一个特解 $y^{*}$ 。

① $f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$ （ $P_n$ 为 $n$ 次多项式）：设

y^{*}=e^{\alpha x}Q_n(x)\,x^{k}

$Q_n$ 仍是待定的 $n$ 次多项式，

k= \begin{cases} 0, & \alpha\text{ 不是特征根}\\ 1, & \alpha\text{ 是单特征根}\\ 2, & \alpha\text{ 是二重特征根} \end{cases}

② $f(x)=e^{\alpha x}\bigl[P_m(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x\bigr]$ ：设

y^{*}=e^{\alpha x}\bigl[Q_l^{(1)}(x)\cos\beta x+Q_l^{(2)}(x)\sin\beta x\bigr]x^{k}

$l=\max(m,n)$ ， $Q_l^{(1)},Q_l^{(2)}$ 为两个待定 $l$ 次多项式，

k= \begin{cases} 0, & \alpha\pm\beta i\text{ 不是特征根}\\ 1, & \alpha\pm\beta i\text{ 是特征根} \end{cases}

（ $\cos$ 、 $\sin$ 即使只出现一个，特解里两个都要设。）

7. 欧拉方程

x^{2}y''+pxy'+qy=f(x)

$x>0$ 时令 $t=\ln x$ （即 $x=e^{t}$ ）， $\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{x}$ ：

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt},\qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-\frac{dy}{dt}\right)

代入后变成常系数：

\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+(p-1)\frac{dy}{dt}+qy=f(e^{t})

先对 $t$ 求出通解，再代回 $x=e^{t}$ 。 $x<0$ 时改用 $t=\ln|x|$ 。

多元函数微分学

1. 二重极限与累次极限

二重极限： $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ （沿任意路径都趋向同一值）。

累次极限： $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y)$ 或 $\displaystyle\lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0}f(x,y)$ 。

二重极限存在 $\not\Rightarrow$ 累次极限存在。
两个累次极限都存在 $\Rightarrow$ 二者相等（但不必等于二重极限；二重极限甚至可以不存在）。
两个累次极限存在但不相等 $\Rightarrow$ 二重极限不存在。

2. 连续

\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)

只沿水平 / 铅垂线：

\lim_{x\to x_0}f(x,y_0)=f(x_0,y_0)\quad\text{（关于 $x$ 连续）}

\lim_{y\to y_0}f(x_0,y)=f(x_0,y_0)\quad\text{（关于 $y$ 连续）}

分别连续 $\not\Rightarrow$ 二元连续。

3. 偏导数与全微分

f_x'(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}

f_y'(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}

（只反映坐标轴两个方向。）

全增量能写成（ $\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$ ）

\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)

则在该点可微，全微分 $\mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y$ 。可微时必有 $A=f_x',\ B=f_y'$ ，故

\mathrm{d}z=f_x'\,\mathrm{d}x+f_y'\,\mathrm{d}y

4. 连续 / 偏导 / 可微（比一元弱）

一元：可导 $\Rightarrow$ 连续；连续 $\not\Rightarrow$ 可导。一元可导与可微是一回事。

多元（「可导」下面都指偏导存在）：

\text{偏导连续}\ \Rightarrow\ \text{可微}\ \Rightarrow\ \text{偏导存在}

可微 $\Rightarrow$ 连续。反过来都不对：偏导存在 $\not\Rightarrow$ 连续，也 $\not\Rightarrow$ 可微；连续 $\not\Rightarrow$ 偏导存在。

做题：

一般点：一阶偏导连续 $\Rightarrow$ 可微（够用就停）。
特殊点（分段、绝对值、分母为零）：必须用定义，验证 $\Delta z-f_x'\Delta x-f_y'\Delta y=o(\rho)$ 。
能把增量凑成 $A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$ ，则该点可微。

5. 混合偏导能否换序

一般点、表达式光滑：直接认为

f_{xy}''=f_{yx}''

（克莱罗：二阶混合偏导在该点连续即可换序；一阶偏导连续也够。）

存在可以不相等。 二阶混合偏导在该点存在但不连续时，换序不必成立。原点、分段、分母 $x^{2}+y^{2}$ 这类，按定义沿轴去算，不要默认相等。

典型反例（ $(x,y)\neq(0,0)$ 时，原点补 0）：

f(x,y)=\frac{xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}

对调后 $f(y,x)=-f(x,y)$ 。沿轴算得 $f_y'(x,0)=x$ ，故 $f_{yx}''(0,0)=1$ ；对称差一个负号得 $f_x'(0,y)=-y$ ，故 $f_{xy}''(0,0)=-1$ 。原点以外二者仍相等。

6. 链式法则

$z=f(u,v)$ ， $u=u(x,y)$ ， $v=v(x,y)$ ：

\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}

\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}

7. 隐函数求导

一个方程 $F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$ （ $F_z'\neq 0$ ）：

\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x'}{F_z'},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y'}{F_z'}

两个方程 $F(x,y,z)=0,\ G(x,y,z)=0$ 确定 $y=y(x),\ z=z(x)$ ：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,z)}}{\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}},\qquad \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=-\frac{\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}}{\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(z,y)}}

其中

\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix} F_u' & F_v' \\ G_u' & G_v' \end{vmatrix}

8. 无条件极值

驻点必要条件： $f_x'(x_0,y_0)=0,\ f_y'(x_0,y_0)=0$ 。

充分条件：令 $A=f_{xx}'',\ B=f_{xy}'',\ C=f_{yy}''$ ， $\Delta=AC-B^{2}$ ，

$\Delta$	结论
$>0$	极值： $A<0$ 极大， $A>0$ 极小
$<0$	非极值（鞍点）
$=0$	本方法不能判断

区域内唯一极值点不一定是最值（还要看边界；无界区域还要看无穷远）。

9. 条件极值（拉格朗日）

$u=f(x,y,z)$ 在 $\varphi(x,y,z)=0,\ \psi(x,y,z)=0$ 下的最值。辅助函数

F=f+\lambda\varphi+\mu\psi

F_x'=F_y'=F_z'=0,\quad F_\lambda'=\varphi=0,\quad F_\mu'=\psi=0

解出候选点 $P_i$ ，比较 $f(P_i)$ 得最大、最小。一个约束就只留 $\lambda$ ，两个未知数时 $F=f+\lambda\varphi$ 同理。

平面和空间几何题

对应题型：《基础过关660·高数》填空 #135–139、选择 #341–343 等；《张宇1000》第17章「多元积分学预备知识」中直线/平面/曲面距离与切平面类题。

1. 向量运算（必背）

设 $\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3),\ \boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3)$ 。

数量积 / 夹角：

\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3

向量积：

\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix},\quad |\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta

（ $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ ；两平面法向量叉积 = 交线方向向量。）

混合积（平行六面体有向体积）：

(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c} =\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}

若 $\boldsymbol{c}\perp\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\perp\boldsymbol{b}$ ，则 $\boldsymbol{c}\parallel(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})$ ，故

(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=\pm|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|\,|\boldsymbol{c}|

（660 #137 型。）

2. 平面

一般式： $Ax+By+Cz+D=0$ ，法向量 $\boldsymbol{n}=(A,B,C)$ 。

点法式（过 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ ，法向 $\boldsymbol{n}$ ）：

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

点到平面距离（660 #135 求球半径）：

d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

平行平面： $Ax+By+Cz+D_1=0$ 与 $Ax+By+Cz+D_2=0$ ，距离（660 #136）：

d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

设所求平面为 $Ax+By+Cz+D=0$ ，由 $d=\text{给定值}$ 解 $D$ （通常两个解，分居两侧）。

两平面夹角 $\theta$ （取锐角或题中指定）：

\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}

平行 $\Leftrightarrow\boldsymbol{n}_1\parallel\boldsymbol{n}_2$ ；垂直 $\Leftrightarrow\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2=0$ 。

3. 直线

对称式 / 参数式（过 $M_0$ ，方向 $\boldsymbol{s}=(l,m,n)$ ）：

\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n} =t \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\\ z=z_0+nt\end{cases}

两平面交线：

\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases} \quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{s}=\boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2

点到直线距离（直线过 $M_1$ ，方向 $\boldsymbol{s}$ ；点 $M$ ）（660 #138）：

d=\frac{|\overrightarrow{M_1M}\times\boldsymbol{s}|}{|\boldsymbol{s}|}

异面直线距离（ $L_1$ 过 $M_1$ 方向 $\boldsymbol{s}_1$ ， $L_2$ 过 $M_2$ 方向 $\boldsymbol{s}_2$ ）：

d=\frac{|(\overrightarrow{M_1M_2},\boldsymbol{s}_1,\boldsymbol{s}_2)|}{|\boldsymbol{s}_1\times\boldsymbol{s}_2|} =\frac{|(\overrightarrow{M_1M_2}\times\boldsymbol{s}_1)\cdot\boldsymbol{s}_2|}{|\boldsymbol{s}_1\times\boldsymbol{s}_2|}

（共面时分子为 $0$ 。）

两直线夹角：

\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{s}_1\cdot\boldsymbol{s}_2|}{|\boldsymbol{s}_1||\boldsymbol{s}_2|}

4. 直线与平面的关系

设直线方向 $\boldsymbol{s}$ ，平面法向 $\boldsymbol{n}$ 。

夹角 $\varphi$ （直线与其在平面上投影的夹角；线面角）：

\sin\varphi=\frac{|\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{s}||\boldsymbol{n}|} \quad(0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{2})

（660 #341。）

关系	条件
平行（或在平面上）	$\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}=0$
在平面上	$\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}=0$ 且直线上一点满足平面方程
垂直	$\boldsymbol{s}\parallel\boldsymbol{n}$
斜交	$\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}\ne 0$ 且不垂直

（直线由两平面给出时，先 $\boldsymbol{s}=\boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2$ ，再判与第三平面关系——660 #342 / 张宇1000 同类。）

过点且平行于已知平面的直线/平面：

平面：与已知平面同法向，再过给定点定常数项（660 #139）。
直线：方向 $\boldsymbol{s}\perp\boldsymbol{n}$ （即 $\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}=0$ ），常再交另一已知直线定方向。

求直线的两种套路（660 #139）：

找一点 + 方向向量，写对称式；
写出过该直线的两个平面，用方程组表示交线。

5. 球面

球心 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 、半径 $R$ ：

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2

与平面相切 $\Leftrightarrow$ 球心到平面距离 $=R$ （660 #135）。
一般式 $x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0$ 可配方求心、半径。

6. 曲面的切平面与法线（张宇1000 / 660 多元几何）

$F(x,y,z)=C$ 或 $F=0$ ，在点 $M_0$ ：

F_x'(M_0)(x-x_0)+F_y'(M_0)(y-y_0)+F_z'(M_0)(z-z_0)=0 \quad(\text{切平面})

这里 $F_x'=\dfrac{\partial F}{\partial x}$ ， $F_y',F_z'$ 同理，都是一阶偏导在 $M_0$ 的值。切平面的法向量就是 $\nabla F(M_0)=(F_x',F_y',F_z')\big|_{M_0}$ 。

\frac{x-x_0}{F_x'(M_0)}=\frac{y-y_0}{F_y'(M_0)}=\frac{z-z_0}{F_z'(M_0)} \quad(\text{法线})

$z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ ：

z-z_0=f_x'(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0,y_0)(y-y_0)

法向量可取 $(-f_x',-f_y',1)$ 。

曲面上的点到平面的最短距离： 切平面与已知平面平行（法向平行）定切点，再算点面距（张宇1000 强化 #2 型）；或用条件极值。

7. 空间曲线的切线与法平面

曲线为两曲面交线 $\begin{cases}F=0\\ G=0\end{cases}$ ，在点 $M_0$ ：

\boldsymbol{\tau}=\nabla F(M_0)\times\nabla G(M_0)

切线：过 $M_0$ 、方向 $\boldsymbol{\tau}$ ；法平面：以 $\boldsymbol{\tau}$ 为法向过 $M_0$ （660 #343）。

参数式 $\boldsymbol{r}(t)$ ：切向 $\boldsymbol{r}'(t_0)$ 。

8. 做题速查

题意	公式/动作
球与平面相切	点面距 $=R$
平行平面、定距离	同 $(A,B,C)$ ，用 $\\|D_1-D_2\\|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}$
点到直线距	$\\|\overrightarrow{M_1M}\times\boldsymbol{s}\\|/\\|\boldsymbol{s}\\|$
线面角	$\sin\varphi=\\|\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}\\|/(\\|\boldsymbol{s}\\|\\|\boldsymbol{n}\\|)$
两平面交线方向	$\boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2$
切平面	$\nabla F\cdot\overrightarrow{M_0M}=0$
交线切向	$\nabla F\times\nabla G$
混合积、体积	$(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}$ ；垂直时 $\pm\\|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\\|\\|\boldsymbol{c}\\|$

多元函数积分学

对应题型：《基础过关660·高数》多元积分（约 #344–#359）、强化通关330 同类；《张宇1000》第18章。下面「一型 / 二型」即教材中的第一型 / 第二型。

0. 一张图分清四类积分

	一型（对弧长 / 对面积）	二型（对坐标）
曲线	$\displaystyle\int_L f\,ds$ （“在线上撒密度 $f$ ，求质量”）	$\displaystyle\int_L P\,dx+Q\,dy(+R\,dz)$ （“沿路径做功”）
曲面	$\displaystyle\iint_\Sigma f\,dS$ （“在面上撒密度 $f$ ，求质量”）	$\displaystyle\iint_\Sigma P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy$ （“通量 / 穿过曲面的流量”）
有无方向	无向： $ds,dS>0$ ，反向路径/翻面不改号	有向：反向路径 / 取反侧 → 变号
形象	只关心“弯了多长 / 面积多大”	还关心“朝哪走 / 朝哪侧穿”

记忆口诀：一型看长短（面积），二型看方向（功与通量）。

和普通积分（定积分 / 重积分）差在哪：

	普通定积分 / 重积分	曲线 / 曲面积分
积分域	区间 $[a,b]$ 、平面区域 $D$ 、空间区域 $\Omega$ （“填满一块”）	弯曲线 $L$ 、弯曲面 $\Sigma$ （“只在边界/壳上”）
微元	$\mathrm{d}x,\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\ \mathrm{d}v$ （坐标体积元）	一型： $\mathrm{d}s,\mathrm{d}S$ （真实弧长/面积）；二型： $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$ 或 $\mathrm{d}ydz$ 等（投影/有向）
算法	直接按区间或累次积分	一般要参数化或投影到坐标面，化成普通积分再算
方向	定积分上下限有方向；重积分区域无“走向”	一型无向；二型必须指定曲线走向 / 曲面侧

一句话：普通积分是在“实心区域”上积；线/面积分是在“骨架（线）或表皮（面）”上积，算之前多半先化成普通积分。

1. 第一型曲线积分 $\displaystyle\int_L f(x,y,z)\,ds$

原理： 把曲线切成小弧，每段长 $\Delta s_i$ ，贡献 $f(M_i)\Delta s_i$ ，求和取极限。

计算（参数式 $\boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),\ t\in[a,b]$ ）：

\int_L f\,ds =\int_a^b f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\,dt

（下限取较小参数即可； $ds$ 里根号恒正，不必按走向交换上下限。）

平面特例 $y=y(x)$ ， $x:a\to b$ ：

ds=\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,dx

对称性（与重积分同向）： 曲线关于某坐标面对称且 $f$ 对该坐标为奇函数 → 积分为 $0$ ；为偶函数 → 可减半。

附：质量 / 质心 / 转动惯量（考研范围）

微元： $\mathrm{d}m=\rho\,\mathrm{d}s$ （线）/ $\rho\,\mathrm{d}\sigma$ （面）/ $\rho\,\mathrm{d}v$ （体）；
转动惯量 =「到轴（或点）的距离平方 × 质量微元」再积分。一型积分（ $ds,dS$ ）正是这类物理量的数学形式。

线密度（曲线 / 细丝）——第一型曲线积分

m=\int_L\rho\,\mathrm{d}s,\quad \bar{x}=\frac{1}{m}\int_L x\rho\,\mathrm{d}s,\quad \bar{y}=\frac{1}{m}\int_L y\rho\,\mathrm{d}s \quad(\text{空间再加 }\bar{z})

平面曲线对坐标轴：

I_x=\int_L y^{2}\rho\,\mathrm{d}s,\qquad I_y=\int_L x^{2}\rho\,\mathrm{d}s,\qquad I_O=\int_L(x^{2}+y^{2})\rho\,\mathrm{d}s=I_x+I_y

空间曲线对 $z$ 轴： $I_z=\displaystyle\int_L(x^{2}+y^{2})\rho\,\mathrm{d}s$ 。

形象： 绕 $x$ 轴转时离轴越远（ $|y|$ 越大）越“沉”，故乘 $y^{2}$ ；绕 $y$ 轴乘 $x^{2}$ 。

例（660 #159）： $x=\cos\theta,\ y=\sin\theta,\ \mathrm{d}s=\mathrm{d}\theta$ ，

I_x=\int_\Gamma\rho y^{2}\,\mathrm{d}s=\rho\int_0^{\pi}\sin^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta=\frac{\pi}{2}\rho.

面密度（平面薄片）——二重积分

I_x=\iint_D y^{2}\rho\,\mathrm{d}\sigma,\quad I_y=\iint_D x^{2}\rho\,\mathrm{d}\sigma,\quad I_O=\iint_D(x^{2}+y^{2})\rho\,\mathrm{d}\sigma

（质量、质心同理，把被积函数换成 $1$ 、 $x$ 、 $y$ 。）曲面质量则用第一型面积分 $m=\iint_\Sigma\rho\,\mathrm{d}S$ 。

体密度（立体）——三重积分

I_x=\iiint_\Omega(y^{2}+z^{2})\rho\,\mathrm{d}v,\quad I_y=\iiint_\Omega(z^{2}+x^{2})\rho\,\mathrm{d}v,\quad I_z=\iiint_\Omega(x^{2}+y^{2})\rho\,\mathrm{d}v

做题提示： 先定轴 → 写距离² → 选 $ds$ /二重/三重； $\rho$ 常数可提出； $x^{2}+y^{2}$ 优先极/柱坐标。

出处：《高等数学·基础篇》第十二章第四节；660 #159 等

2. 第二型曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz$

原理： 力场 $\boldsymbol{F}=(P,Q,R)$ 沿路径的功 $\int_L\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$ 。走向一反，功变号。

计算（参数式， $t:a\to b$ 按给定走向）：

设有向曲线 $L$ 的参数方程为

\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases} \quad t:a\to b \quad(\text{参数增大方向与积分走向一致；若相反则把 }a,b\text{ 对调})

则

dx=x'(t)\,dt,\quad dy=y'(t)\,dt,\quad dz=z'(t)\,dt,

且 $P,Q,R$ 都要换成复合函数 $P\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)$ 等，于是

\int_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\int_a^b\Bigl[ P\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,x'(t) +Q\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,y'(t) +R\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,z'(t) \Bigr]dt.

简记为 $\displaystyle\int_a^b\bigl[P\,x'+Q\,y'+R\,z'\bigr]dt$ （式中 $P,Q,R,x',y',z'$ 均视为 $t$ 的函数）。

平面曲线只有 $x(t),y(t)$ 时，去掉 $R\,dz$ 一项即可；若已写成 $y=y(x)$ ，可取 $t=x$ 。

与一型的桥（方向余弦）：

dx=\cos\alpha\,ds,\quad dy=\cos\beta\,ds,\quad dz=\cos\gamma\,ds

\int_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,ds

$\alpha,\beta,\gamma$ 是什么、怎么求：
它们是曲线在该点的切线方向（与积分走向一致的单位切向 $\boldsymbol{\tau}$ ）与 $x,y,z$ 轴正向的夹角，故

\cos\alpha=\boldsymbol{\tau}\cdot\boldsymbol{i},\quad \cos\beta=\boldsymbol{\tau}\cdot\boldsymbol{j},\quad \cos\gamma=\boldsymbol{\tau}\cdot\boldsymbol{k}, \quad \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1.

参数式 $\boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ ，切向 $\boldsymbol{r}'=(x',y',z')$ ， $|\boldsymbol{r}'|=\dfrac{ds}{dt}$ ，取与走向同向的单位切向：

\cos\alpha=\frac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}},\quad \cos\beta=\frac{y'}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}},\quad \cos\gamma=\frac{z'}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}.

（若走向与参数增大相反，三者整体变号，或把参数上下限按走向排好。）

平面曲线 $y=y(x)$ 沿 $x$ 增大方向：

\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+y'^2}},\quad \cos\beta=\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \quad\bigl(dz=0\bigr).

做题时往往不单独“求角”，而是直接用 $\cos\alpha\,ds=dx$ 等代入；需要写成一型时，把上面三个公式代入即可。

平面场与路径无关（格林条件）： 在单连通区域 $D$ 上 $P,Q$ 有连续偏导，且

\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} \quad\Leftrightarrow\quad \int_L P\,dx+Q\,dy\text{ 与路径无关} \quad\Leftrightarrow\quad \exists\,u,\ du=P\,dx+Q\,dy.

此时 $\displaystyle\int_A^B=\bigl[u\bigr]_A^B$ 。

与路径无关时怎么算（优先找 $u$ ）：
先验证 $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ （单连通、无奇点），再分流：

$u$ 好找 → 直接用端点

\int_A^B P\,dx+Q\,dy=u(B)-u(A),\qquad du=P\,dx+Q\,dy.

找 $u$ ：由 $u_x'=P$ 对 $x$ 积分（“常数”可含 $y$ ），再用 $u_y'=Q$ 定出关于 $y$ 的部分；或直接凑微分。例（660 类）： $P=\cos y^{2},\ Q=-2xy\sin y^{2}$ ，有 $du=d(x\cos y^{2})$ ，从 $(0,0)$ 到 $(1,\sqrt{\pi})$ 得

\bigl[x\cos y^{2}\bigr]_{(0,0)}^{(1,\sqrt{\pi})}=\cos\pi=-1.

$u$ 不好找 → 仍与路径无关，改走折线（如先水平后竖直），分段令 $y=c$ 或 $x=c$ 。
条件不成立 → 不能用端点差，必须沿给定曲线参数化，或补线后用格林。

考点（660 #353–354）： $\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}$ 只是必要；若区域挖洞（如 $x^{2}+y^{2}>0$ ）且奇点被围住，仍可能与路径有关。经典公式见下（逆时针绕原点一周）。用格林前先看原点（奇点）是否在回路内。

\oint_L\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}=2\pi

格林公式（ $L=\partial D$ 正向：左侧为 $D$ ）：

\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dxdy

补线、挖洞去奇点后再用，是常考手法。

3. 第一型曲面积分 $\displaystyle\iint_\Sigma f(x,y,z)\,dS$

原理： 面上质量； $\Delta S$ 恒正，与侧无关。

投影到 $xOy$ （曲面 $z=z(x,y)$ ，投影域 $D_{xy}$ ）：

dS=\sqrt{1+(z_x')^{2}+(z_y')^{2}}\,dxdy, \quad \iint_\Sigma f\,dS =\iint_{D_{xy}} f\bigl(x,y,z(x,y)\bigr)\sqrt{1+(z_x')^{2}+(z_y')^{2}}\,dxdy

（投 $xOz$ 、 $yOz$ 时轮换坐标。）

隐式 $F(x,y,z)=C$ ：

dS=\frac{|\nabla F|}{|F_z'|}\,dxdy \quad(\text{投向 }xOy\text{，且 }F_z'\ne 0)

对称性： 与一型线积分、重积分相同——奇函数对称域积分为 $0$ 。

4. 第二型曲面积分 $\displaystyle\iint_\Sigma P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy$

原理： 流速场 $\boldsymbol{F}=(P,Q,R)$ 穿过有向曲面的通量 $\iint_\Sigma\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S}$ 。指定侧（法向）一反，积分变号。

投影算法（以 $R\,dxdy$ 为例，曲面 $z=z(x,y)$ ）：

\iint_\Sigma R\,dxdy =\pm\iint_{D_{xy}} R\bigl(x,y,z(x,y)\bigr)\,dxdy

符号：法向与 $z$ 轴夹角为锐角取 $+$ （上侧），钝角取 $-$ （下侧）。
$P\,dydz$ 、 $Q\,dzdx$ 分别投向 $yOz$ 、 $zOx$ ，规则类似。

与一型的桥：

dydz=\cos\alpha\,dS,\quad dzdx=\cos\beta\,dS,\quad dxdy=\cos\gamma\,dS

\iint_\Sigma P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy =\iint_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,dS

其中 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 为指定侧单位法向。

$\alpha,\beta,\gamma$ 是什么、怎么求（曲面法向）：
它们是曲面在该点指定侧的单位法向 $\boldsymbol{n}$ 与 $x,y,z$ 轴正向的夹角：

\cos\alpha=\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{i},\quad \cos\beta=\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{j},\quad \cos\gamma=\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{k}, \quad \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1.

显式 $z=z(x,y)$ ：未单位化法向可取 $\boldsymbol{N}=(-z_x',-z_y',1)$ （指向 $z$ 增大一侧，即“上侧”），则

\cos\alpha=\frac{-z_x'}{\sqrt{1+(z_x')^{2}+(z_y')^{2}}},\quad \cos\beta=\frac{-z_y'}{\sqrt{1+(z_x')^{2}+(z_y')^{2}}},\quad \cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+(z_x')^{2}+(z_y')^{2}}}.

若题目取下侧，三者整体变号（或改用 $\boldsymbol{N}=(z_x',z_y',-1)$ ）。

隐式 $F(x,y,z)=C$ ： $\nabla F=(F_x',F_y',F_z')$ 给出一侧法向，单位化

\cos\alpha=\frac{F_x'}{|\nabla F|},\quad \cos\beta=\frac{F_y'}{|\nabla F|},\quad \cos\gamma=\frac{F_z'}{|\nabla F|},

再按题意（外侧 / 朝原点 / 与某轴锐角等）决定是否变号。

平面 $Ax+By+Cz+D=0$ ： $\boldsymbol{n}=\pm\dfrac{(A,B,C)}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ ，符号由指定侧决定。

做题时同样常不显式求角：投影法用 $\pm$ 定侧；化为一型时把上面方向余弦代入即可。注意这里的 $\boldsymbol{n}$ 是法向，与线积分里的切向不是一回事。

高斯公式（闭曲面 $\Sigma=\partial\Omega$ 取外侧）：

\oiint_\Sigma P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy =\iiint_\Omega\Bigl(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\Bigr)dv

开口曲面常补面成闭曲面再用高斯（张宇1000 / 660 常规套路）。

斯托克斯公式（ $\partial\Sigma$ 定向与法向成右手系）：

\oint_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\iint_\Sigma \begin{vmatrix} dydz&dzdx&dxdy\\ \dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix}

空间闭曲线上的二型线积分 ↔ 张成曲面的二型面积分（法向按右手法则）。

5. 对称性：一型 vs 二型「刚好相反」（660 #359 评注）

	一型线/面、重积分	二型面（分项看）
区域关于某坐标面对称，被积对应该坐标为奇	积分为 $0$	该项常为 $2\times$ 半边（“奇倍”）
为偶	可减半	该项常为 $0$ （“偶零”）

二型必须分项用：

含 $dxdy$ 的项 ↔ 看关于 $z=0$ 的对称与 $R(x,y,z)$ 对 $z$ 的奇偶；
含 $dydz$ 的项 ↔ 关于 $x=0$ 与 $P$ 对 $x$ 的奇偶；
$dzdx$ 类似。
（线积分二型的对称性也要按 $dx,dy,dz$ 分项，并结合走向。）

6. 做题流程（形象版）

看见 ds / dS ？ → 一型：参数化或投影，根号面积元，无方向烦恼
看见 dx,dy / dydz…？ → 二型：先问「有没有方向/侧」
        │
        ├─ 平面闭曲线 → 优先想格林（先查奇点！）
        ├─ 空间闭曲线 → 斯托克斯 / 化一型
        ├─ 闭曲面（或可补面）→ 高斯
        └─ 否则 → 投影到坐标面（定好 ±）或参数法

易错清单：

一型上下限按参数增大即可；二型必须跟走向一致。
格林/高斯前检查： $P,Q,R$ 在区域内是否连续（原点等奇点）。
二型投影漏符号（上侧/下侧、外侧/内侧）。
一型把曲线方程代入 $f$ 可以；二型不能把法向信息丢掉只代入。
对称性：二型与一型结论相反，且要分项。

基础数学公式

其他

$a^x=e^{x\ln a}$ . $1+x^3=(1+x)(1-x+x^2)$

1. 常用导数

\begin{aligned} (\sin x)^{(n)}&=\sin\left(x+n\cdot\frac{\pi}{2}\right)\\ (\cos x)^{(n)}&=\cos\left(x+n\cdot\frac{\pi}{2}\right)\\ (u\pm v)^{(n)}&=u^{(n)}\pm v^{(n)}\\ (uv)^{(n)}&=\sum_{k=0}^{n}C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)} \end{aligned}

2. 常用不等式

$\sin x<x<\tan x,x\in\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ . $\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,x\in(0,+\infty)$

3. 函数增长速度比较

$x\to+\infty$ 时，

\ln x\ll x^\alpha\ll \alpha^x\ll x^x\ll \alpha^{x^2}

$x\to 0^+$ 时，

e^{-1/x}\ll x^\alpha